f(Z)=Z^Z の Re.f(Z) と Im.f(Z) を求めるには、どうしたらよいか
？
いろいろな方法があるだろうが、私は以下のようにした。(もっとスマートな方法があれば、どなたか、教えてもらいたい。
但し、(その1) に書いたように、BASIC/98 を用いての制約条件の範囲で。)
------------------------------------------------------------------
私の「絵遊び」の画像は、複素平面上に表示される。
-------------------------------------------------------------------
その複素平面上の点Zの座標を、Z=X+iY (ここで、Xは実軸の座標、Yは虚軸の座標とする。)
そして、点Zの極座標で表したとき、Z=R*e^(iθ)とする(下図参照)。
このように定義すれば、以下のように、Re.(Z^Z) 及び Im.(Z^Z)
は求められる。
文章で説明するより計算式で書いたほうが分かり易いだろう。
-------------------------------------
(これも私が数学の公式集を参考にして計算したものであるから誤りがあるかも知れないから御注意！！ ： 下式で掛け算の記号(*)は適宜付けたり省力したりしている。下式はゴチャゴチャしているが、やっていることは単純なこと。こういうところが数式というものの欠点の一つだと思う。)
Z^Z={R*e^(iθ)}^(X+iY)={R^(X+iY)}*[{e^(iθ)}^{(X+iY)}]
=[(R^X)*{R^(iY)}]*[e^{iθ*(X+iY)}
=[(R^X)*e^(-θY)]*[(R^iY)*(e^iθX)]・・・(1)
ここで、上式を分かりやすくするために、
A=(R^X)*e^(-θY)
とおくと、
Z^Z=A*[(R^iY)*(e^iθX)]・・・(2)
ここで、e^x=R として、x を求める。logの底をeとすると、
logR=log(e^x)=x*log e=x
従って、R=e^x=e^logR だから、(1)式の第2項に、このRを代入すると、
(1)式の第2項=[(R^iY)*(e^iθX)]={(e^logR)^iY}*{(e^iθX)}
={e^i(YlogR)} *{(e^iθX)}
=e^i(YlogR+θX)・・・(3)
ここで、上式を分かりやすくするために、
B=(YlogR+θX)
とおくと、
(1)式の第2項=(3)式=e^iB=cosB+isinB
となるから、(1)式、即ち、Z^Z は、
Z^Z=A*(3)式=A*( cosB+isinB)=AcosB +i(AsinB)
となる。従って、
Z^Zの実数部= AcosB
Z^Zの実数部= AcosBとなる。ここで、
A=(R^X)*e^(-θY) , B=(YlogR+θX)
以上より、Z^Zの実数部=Re.(Z^Z)=
AcosB 及び Z^Zの虚数部=Im.(Z^Z)= AcosB
として求まる。
